拓扑与拓扑的基（1）

这两周着重阅读了P58-63，整理一下学习成果

拓扑与拓扑空间

定义1：集合 $X$ 的一个拓扑是 $X$ 的子集的一个族 $\tau$ ,它满足以下条件：

定义2：一个指定了拓扑的集合 $(X,\tau)$ 叫拓扑空间.

为什么要这么定义呢？

在 $\mathbb{R}$ 上，我们有邻域的概念：

给定一个点 $x_0$ 和一个半径 $\delta >0$ ,则 $x_0$ 的一个 $\delta$ 邻域为：

$(x_0-\delta,x_0+\delta)$

每个 $x_0 \in U$ 且 $U \in \tau$ ,其实可以看作一个更抽象的“邻域”，它没有半径，只是规定了哪些元素在这个“邻域”里面，在拓扑学中，我们把这样的邻域 $U$ 称为“开集”

再看拓扑的三个性质，类比到邻域的概念上:

我们来看一个反例：

我们取一系列开区间

$I_n=(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})$ ，其中 $n \in \mathbb{Z}_+$

运用一点数分知识（可以类比区间套定理的证明过程，但是要注意区间套定理的区间是闭区间，而这里是开区间），不难发现

$\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n = \{0\}$

很明显， $\{0\}$ 不是一个邻域，,因为它不满足 $\delta >0$ ，它只是一个单点集.

拓扑的基

我们已经知道， $\mathbb{R}^k$ 是一个向量空间，其中所有元素能表示为基底的线性组合（高中生朋友们请代入平面向量基本定理）.

这很方便，因为我们可以用k个向量和k个实数表示空间中的所有向量，在研究其它向量的时候，将它表示为基底的线性组合能大大方便我们的研究.

那么拓扑呢？它是否也有这样的“基底？”

答案是有的

定义3：拓扑空间 $(X,\tau)$ 中，拓扑 $\tau$ 的一个基 $\mathfrak{B}$ 是满足以下条件的 $X$ 的子集族：

（覆盖性）对于每个 $x \in X$ ,至少有一个 $B \in \mathfrak{B}$ 使得 $x \in B$ .
（交兼容性）若有 $x \in B_1\cap B_2$ 且 $B_1,B_2 \in \mathfrak{B}$ ，则有 $B_3 \in \mathfrak{B}$ 且 $B_3 \subset B_1 \cap B_2$ .

定义4：若任给一个 $x \in U$ 且 $U \sub X$ ，存在一个 $B \in \mathfrak{B}$ ，使得 $x \in B\sub U$ ,那么 $U$ 是 $X$ 的开集，所有这样的 $U$ 构成的族称为由 $\mathfrak{B}$ 生成的拓扑 $\tau$ .

为什么我们断言，由定义4生成的 $\tau$ 一定是一个拓扑呢？

证明1：

这里加入一个小小的引理

引理1.1：拓扑的基的所有元素都是开集.

证明1.1：这很好证明，任给一个 $x \in B$ 且 $B \in \mathfrak{B}$ ,根据覆盖性，显然我们有 $B \sub X$ ，且显然 $x \in B \sub B$ ，根据定义4， $B$ 是一个开集，所以 $B \in \tau$ .

让我们来根据拓扑的定义逐条验证：

我们先来验证平凡开集性质：

根据拓扑的基的覆盖性，我们能在 $\mathfrak{B}$ 中找到 $X$ 中的所有元素，且 $\mathfrak{B}$ 中没有 $X$ 中没有的元素，因此， $\bigcup_{B \in \mathfrak{B}} B =X$ ,根据引理1， $B$ 都是开集，那么根据拓扑的并封闭性，它们的并 $X$ 也是开集，所以 $X \in \tau$ .
拓扑的基并不包含空集，但是如果我们令定义4中的 $U = \empty$ ，对于 $U$ 中任意元素 $x$ , $x \in B \in U$ 也成立，因为没有这样的 $x$ .这是一个虚真论断.（不懂的可以看原书P5）因此 $U$ 也是开集.

验证并封闭性：

我们任取取 $\tau$ 中的一些元素 $U_i(i \in J \sub \mathbb{R})$ ,为何不是 $\mathbb{Z}_+$ 呢？因为拓扑有可能是不可数的.这里要注意，我们只取了 $\tau$ 中的一些元素而不是全部元素.我们要证明的是总是存在 $U \in \tau$ 使得其可以表示为 $\bigcup U_i$ .
下面开始正式证明：我们令 $U = \bigcup U_i$ ,那么 $U$ 中的每一个元素 $x$ 都能找到一个 $U_i$ 使得 $x \in U_i$ .显然， $U_i$ 是一个开集，那么根据定义4，我们有 $x \in B \sub U_i$ .
由于 $x \in B \sub U_i$ ，显然有 $x \in B \sub U_i \sub U$ ，因为 $U$ 是一系列 $U_i$ 的交.让我们简化一下， $x \in B \sub U$ .根据这个结论，结合定义4，我们可以得出 $U$ 是开集.

验证有限交封闭性：

我们选取任意的 $U_1,U_2 \in \tau$ ，那么根据定义4，一定有 $B_1 \sub U_1, B_2 \sub U_2$ .根据交兼容性，存在 $B_3 \in \mathfrak{B}$ 使得 $B_3 \sub B_1 \cap B_2$ . 由于 $B_1,B_2$ 分别是 $U _1 ,U_2$ 的子集， $B_3 \sub U_1 \cap U_2$ .(实际上这一步十分令人费解，至少是对我而言，如果理解不了建议多看看书上的图13.3.)
(1)由此，一定有 $x \in X$ ，使得 $x \in B_3 \sub U_1 \cap U_2$ . 这是因为根据引理1.1， $B_3$ 是一个开集，而开集不能有原集合以外的元素.到这里，根据定义4， $U_1 \cap U_2$ 是一个开集.
（2）我们设 $U_k \in \tau(k \in \mathbb{Z}_+)$ ，现在我们证明，对于有限交 $U’=$ $U_1 \cap U_2 \cap … \cap U_n$ ， $U’ \in \tau.$
我们注意任意 $U_m\cap U_{m+1}$ ，由于相交的两个集合是开集，那么根据（1）中的结论， $U_m\cap U_{m+1}$ 是开集，即（2）式中相邻两项的交集仍然是开集.
这样，（2）中的式子长度可以被缩减到一半，如果是奇数项则向上取整.因为相邻两项的交仍然是开集.这样一直重复缩减，我们可以把所有的项缩成一个项，而它仍然是开集.由此，可以得到 $U’$ 是开集.

由此，我们验证了 $\tau$ 确实是一个拓扑，证毕.

先讲这么多吧，后面的几个引理下周再说

评论