这周精读了16至21页，接下来对一些核心概念谈谈我自己的想法：

等价关系

集合A中的一个等价关系是A上满足下面三条性质的一个关系C

这里可以举几个例子，方便理解

例1：设无向图$G=(V,E)$，关系$\sim$表示两个节点$u,v \in V$连通，则关系$\sim$为等价关系

例2：设$a,b \in \mathbb{z}$ ，则$a \equiv b \pmod{3}$ 为等价关系

以上两个命题在此不做证明

等价类

设 ∼是集合 $X$上的等价关系。对任意 $x \in X$，由$x$决定的等价类定义为：

$[x] = \{ y \in X \mid y \sim x \}$

或者

$[x]_{\sim} = \{ y \in X \mid y \sim x \}$

对于例1，无向图$G=(V,E)$ 其任意一个连通分量$U$即为一个由任意一个$u \in U \subset V$决定的等价类

对于例2，$A=\{ 3k \mid k \in \mathbb{Z} \}$ 是由任意一个$a \in A$ 决定的等价类

关于引理3.1（两个等价类要么无交要么相等）,想必大家已经看过严格证明了，以下是我的个人阐释：

对于例1，你不可能找到一个元素$u \in U$ 使得$u$ 同时在两个不同的连通分量中，你可以把这想象成，$u$ 在两个连通分量中搭了一座“桥”，使得两个连通分量之间的节点彼此连通，从而“融合”成一个连通分量（像胞吞（鬼知道我为什么想到这个））

对于例2，你也不可能找到一个$n \in \mathbb{z}$ 使得$n \bmod 3$ 同时等于超过一个以上不同的数

你可以把这理解为，一旦有交的两个等价类$E$ 、$F$不相等，那么其交中必有元素，因为等价关系的传递性，这个元素“联系”了两个等价 类，使得$\forall p,q\in E \cup F,p\sim q$

已经一点半了，太困了，分拆和序关系明天写吧

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书接上回，接下来是分拆

分拆

集合$A$ 的一个分拆是$A$ 的无交子集的一个族，其并为$A$

那么为什么一个等价关系能导出一个分拆呢？

注意“无交子集”一词，让我们回顾引理3.1 ，可以发现集合中的每个等价类都是原集合的无交子集，两个等价类要么无交要么相等，这恰好与分拆中元素为“无交子集”相符

再次回顾例1，连通关系怎么在$V$ 上诱导出一个分拆？我们已经知道，在$V$ 上，一个连通分量就是一个等价类，所以关系$\sim$ 可以诱导出一个分拆，$V$ 上其所有连通分量就是它的元素

你可以把这想象成一片海域，等价类（连通分量）是海面上的小岛，每个小岛之间有海水隔开，所有小岛的集合就是一个分拆

序关系

序关系$C$满足以下条件：

• （可比较性）对于$A$ 中满足$x \ne y$ 的每个$x、y$ 要么$xCy$ 要么$yCx$
• （非自反性）$A$ 中没有$x$ 使得$xCx$ 成立
• （传递性）若$xCy$且$yCz$ 则$xCz$

下面看实数集$\mathbb{R}$ ，其上的$<$ 就是一个序关系

其满足可比较性，这意味着$\mathbb{R}$ 上的每一个数都可以比较，总能找到一个数比另一个数小

这三个个性质在$\mathbb{R}$ 上是不言自明的，但是可比较性比较特殊，这涉及到线性连续统的概念，这里不展开

其实可以这么想，集合像是钢笔里的墨水，在集合上定义一个序关系，就像用墨水朝着一个方向画一条直线，这个“方向”实际上是由可比较性保证的，它规定了哪个元素比较靠前，哪个元素比较靠后

这个类比也可以拓展到任意集合，不过有些集合不是线性连续统，这其实可以理解为画虚线