写这篇文章的动机来自于高一的一次物理课，老师讲到了电场。所以这里以对电场开篇.另外在此系列中有一些数学符号的约定和高中数学课本中的不一样（这是作者的个人习惯）现加以说明：

• 坐标使用矩阵的形式表示，例如坐标$(1,2)$这里表示为$\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}$.
• 矩阵（向（矢）量或张量）的范数（模长）使用$\| \cdot\|$，而标量的绝对值使用$|\cdot|$.
• 向（矢）量，向（矢）量场一般用黑斜体字母表示.

在课上，我们知道了电场强度（这里简称场强)的定义（这里将会更加严谨化表述）：

$\bm{E} = lim_{q \to 0}\frac{\bm{F}}{q}$

在电场中，每个点都唯一对应着这样一个场强矢量$\bm{E}$.我们仅在平面内讨论这些问题.于是在平面每一个坐标$\bm{A}=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$中唯一对应一个矢量$\bm{B}=\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}$.这很像我们高一学过的函数概念.所以，我们可以定义一种函数，它的定义域中的元素是平面（以后（欧几里得）平面将使用$\mathbb{R}^2$表示）中的点，而值域中的元素则是二维向量（这样的值域也包含在$\mathbb{R}^2$中）.我们把这种数学对象叫做向量场.用数学语言严格描述，就是：

$\bm{F}:\mathbb{R}^2 \rightarrow\mathbb{R}^2$

现在让我们考虑电场，它本身也是一个向量场.但是我们暂时不知道这个向量场的表达式.不过，根据我们在物理课上学到的知识：

• 电场中某处场强的方向是此处正电荷受到的库仑力的方向（1）
• 电场中某处的场强的大小$\|\bm{E}\|=k\frac{Q}{r^2}$（2）

设场源电荷在电场中的坐标为$\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}$，且场源电荷的电荷量为$+Q$，在电场中某点$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$，场强的方向就是场源电荷的位置与该点连线的延长线的方向，其实就是向量$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$的方向.于是，要求得这点的场强，我们只需要求得与$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$方向一致的单位向量，再乘以$\|\bm{E}\|$.即：

$\bm{E} = k\frac{Q}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

这很好，因为如果场源电荷的值为$-Q$，原先这点的场强就变为$-k\frac{Q}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$，也就是与场源电荷为正的情况相反，这完美地符合了场源电荷为负时的情况.

把这用向量场的形式表示，就是：

$\bm{E}(x,y) = k\frac{Q}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$，或者$\bm{E}(\bm{r}) = k\frac{Q}{r^2 \| \bm{r}\| }\bm{r}=k\frac{Q}{r^3 }\bm{r}$

于是我们成功求出了电场的表达式，这对我们研究其性质具有很大的意义.

现在来看一种对电场本身的操作，我们讨论多电场叠加的情况.

首先，我们不能再把场源电荷仅仅放在原点了，因为多个电场的场源电荷的位置可能不同.这里我们设第$n$个场源电荷的大小为$q_n$，坐标为$\bm{Q}_n$；试探电荷的大小$q’\rightarrow0$，坐标为$\bm{Q}’$.

于是对于第n个场源电荷，其场强矢量平行于这个场源电荷与试探电荷的连线.参照单电荷时候的情况，表达式中的$\bm{r}$实际上等于试探电荷的位置$\bm{r}$与场源电荷位置$\bm{0}$的差$\bm{r}-\bm{0}=\bm{r}$.

那么在我们讨论的多电荷情况下，类比场源电荷在原点时的情况，场强的方向与矢量$\bm{Q}’-\bm{Q}_n$相同.两电荷的距离就是$\|\bm{Q}’-\bm{Q}_n\|$.

于是对于第n个电荷，其电场为:

$\bm{E}_n(\bm{Q’}) = k\frac{q_n}{\|\bm{Q}’-\bm{Q}_n\|^3}(\bm{Q}’-\bm{Q}_n)$

于是，对于有n个电荷的情况，设叠加后的电场为$\bm{E}(\bm{Q}’)$，我们有：

$\bm{E}(\bm{Q’}) = \sum^n_{i=1}\bm{E}_i(\bm{Q’})$

本章告一段落，下一回我们将从大家可能已经接触到的导数出发，讲解向量场的微分操作，关于哈密顿算子，梯度，散度和旋度.